期权模型的核心是标的资产的分布曲线。现在让我们来深入探讨一下分布曲线，不同资产的分布曲线一般形态如何？概率和统计如何帮助你回答“某笔交易赚钱的概率是多少”这样的问题？ 我们先来确认一下我们讨论的分布曲线是什么。正如隐含波动率是期权标的未来走势的预测、历史波动率是期权标的历史走势的回顾一样，分布曲线也有两种。在交易期权时，我们用于构建期权模型和概率假设所使用的分布曲线是由期权链中期权的隐含波动率所定义的。该分布曲线允许我们通过统计的方法去量化到期前或到期日时标的资产触到任何一个执行价格上的概率。这就是我们之前讨论过的那些曲线，一开始我们认为它们是正态分布的，后来变为对数正态分布，最后又加上了偏度和峰度——至少对于股票期权和证券指数期权是如此。很多交易员完全不考虑历史分布曲线，我认为这大错特错。我们后面会进一步讨论这一点，目前我们先来关注由期权隐含波动率所定义的前瞻性分布曲线。 在前文中已多次提到过，最原始的Black-Scholes模型假设标的资产价格是随机变动的。这意味着该资产的价格分布是贝壳曲线（见图一）。 图一：正态分布曲线
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在Merton介入了这一过程之后，人们认识到该曲线其实是对数正态分布，因为资产的价值理论上可以无限上涨，但不会出现负价值。至此，我们的曲线形状稍作了改变。（见图二） 图二：对数正态分布曲线
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Black-Scholes中另外一个原始的假设是标的资产变动虽然是随机的，但具有一个正的偏移值。这就导致了对分布曲线的进一步改进，在原来的曲线中加入了正偏度值（见图三）。该分布向正值偏移，或称为具有正偏度。尽管大部分数值仍堆积在左边，该分布的尾部向右延伸，并包含很大的极值，尾部极值决定了该分布的偏度方向。这些大的极值将分布的均值向尾部拉伸，然而分布的中位数仍然在该分布的中心位置。如果你比较倾向于数学表达，那么偏度可以用以下公式来计算： 偏度=[3*（均值-中位数）]/标准差 图三：具有正偏度的对数正态分布
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分布曲线的最后一个特征是它的峰度水平。峰度在统计上是用来衡量一个分布曲线的峰值水平。峰值水平有三种基本形式，如图四所示： 图四：峰值的三种基本形式
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如图所示，峰值的每种形式都有各自的名字。一般来说，股票指数的分布曲线峰值类型是“尖峰式”（Leptokurtic）。 众所周知，“标准差”根据定义与“隐含波动率”是同义词。因此，当我们处于隐含波动率相对较低的环境中时，峰值倾向于“尖峰式”形态。尖峰型分布最大的问题就是大部分观察值都集中在均值附近，并且根据定义，具有较肥的尾部。也就是说，我们出现异常值的概率更大。因此，我们的分布曲线越尖，作为期权卖方我们的风险越大，越有可能遭受尾部事件发生的惨案。 另外一种相反的峰值形态是分布曲线呈扁平状，被称为“低峰式”（Platykurtic）形态，通常出现在标的资产的隐含波动率（或者标准差）水平较高的环境中。在这种情况下，隐含波动率，或者说期权的价格，导致了较宽的价格分布。因此，尾部出现异常情况的风险更小，卖出期权承担的风险也更小。 这些如何在实际操作中影响我们的交易呢？我们如何将相对复杂的概率论应用到我们交易中所使用的期权定价中？在下一节中我们将举例说明。 我们来看一个典型的期权链，如图五所示，图中描述了QQQ在2014年6月20日收盘后的期权链。 图五：期权链QQQ（2014.6.20）
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这里我希望大家注意的是各执行价格的隐含波动率模式。可以观察到，距离QQQ价格以下越远（或执行价格越低），隐含波动率越高。期权链右侧执行价格为93的看跌期权买卖价差中值的隐含波动率为10.69%，92的看跌期权隐含波动率为11.50%，91的看跌期权为12.31%，依次按照升序排列。上端的看涨期权（意味着执行价格超过标的价格）表现出相反的模式，执行价格越高，隐含波动率越低，直到达到某一个特定点。期权链中显示94的看涨期权隐含波动率值为10.10%，95的看涨期权隐含波动率值为9.51%，以此类推。在某个时点上，上端看涨期权的隐含波动率往往会回转，要么是当隐含波动率已经达到了一个极端低值，要么是期权价格已经低到一定地步，交易员宁可买回空头看涨期权或者购买该期权进行投机。 了解了这些模式之后，我们将考虑同一种偏度的不同图形表达方式。 （见图六） 图六：QQQ波动率假笑
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我们可以看到，这张图并不像我们之前看到的正态分布曲线，也不像我们在统计书里面看到的有偏度的曲线。但这其实表达的是一回事，而且对我们来说这种表达更加清晰，因为这张图告诉了我们分布曲线的偏度的实际作用。正是分布曲线中的偏度引起了不同执行价格上隐含波动率的变化。并且隐含波动率的绝对值暗示了我们的分布曲线的峰值如何。从这里面我们应该获取的信息时，所有在分布曲线中用到的技术术语在我们的期权链中都有可视、易懂的表达。 当我们把分布曲线的偏度和不同执行价格的隐含波动率的倾斜水平联系起来之后，就可以立即发现很多有用的信息。首先最重要的是，曲线的形状给我们很多启示。前面我们提到过，在非近月的股票和股票指数市场，曲线形状看起来是个假笑，即右边的上扬幅度远没有左边明显，我们之前已经详细讨论过这一点。但并不是所有标的的分布都具有这样的形状。也并不是所有的假笑都生来平等。因此，我们先来看看通常的倾斜形状有哪些，并辨认不同的标的类型分别属于哪一类的曲线形状。之后我们会讨论为什么倾斜的陡峭程度会发生变化。最后我们看到这些规则的例外情况、它们出现的原因以及一旦出现我们如何利用这些例外情况在交易中获益。然而在讨论这些情况之前，我们先来看看为什么会有倾斜的存在。是Black和Scholes关于几何布朗运动的假设彻底错了吗？ 倾斜是不是终结了他们的模型？或者我们怎样在已有的定价模型中解释倾斜？我们先来看一段历史。 在1987年股票市场崩盘之前，没有人在定价期权时使用我们现在所谓的波动率偏度或倾斜。事实上，那时候股票和股票指数的偏度是一个小小的微笑，也就是隐含波动率随着执行价格偏离标的价格而略微上涨。在两个方向都是如此。 但在大崩盘之后，人们意识到下降的速率要远远高于上升的速率，于是“假笑”或者说“反向倾斜”就成为了新常态。另外人们意识到在市场经历崩盘时很难成交，因此人们愿意付更多钱购买下端的保护。市场会因为不确定性而变宽，因此人们得出结论“要在暴风雨到来之前就买好飓风保险。”因此，从1987年以后，股票交易员愿意为下端保护买单，这也促成了我们今天所看到的倾斜。 然而，还有一个因素造成了倾斜，那就是自然订单流。考虑一下股票期权通常都用在何处。我们要把自己当成是基金经理来考虑问题。当然，有智慧的个人投资者——也是我希望各位能够达到的境界——也会具有同样的思维方式。基金经理有时卖出虚值看涨期权来提升其股票头寸的收益率。这些“备兑看涨”期权通常比市场收益高很多。这种策略在股票指数期权中频繁被使用，例如SPX、RUT和NDX，用一笔交易即可提升整个投资组合的收益率。芝加哥期权交易所针对SPX备兑期权表现的衡量有专门的报价，代码为BXM。 由于备兑看涨期权是购买股票，卖出虚值看涨期权，因此在股票市场具有明显的上升行情时，该策略放弃了获得额外收益的机会。尽管在这些行情下，该策略的使用有所减少，但如果长期系统地使用，该策略已被证实是一个回报丰厚的策略。对备兑看涨策略的持续使用会导致虚值看涨期权这一端的波动率与其它期权序列中的期权相比有所降低。另一方面，基金经理会频繁购买虚值看跌期权来保护他们投资组合的下端。这些看跌期权将在市场下跌时弥补标的投资组合的损失。不断地购买“保险看跌期权”会导致虚值看跌期权的隐含波动率与平值期权相比有所上升，因此造成了我们现在所看到的倾斜。当然，购买这些虚值看跌期权是一个低概率的交易，而我通常都作为卖方将这些期权卖给基金经理。但关键是正常的期权订单流导致了我们在股票和股票指数期权中通常看到的波动率倾斜。 尽管从直觉上自然订单流会形成这种倾斜，是否有实证证据来支持这一假设呢？我个人认为在市场周期中经常出现此类证据。在交易多年之后，你会开始辨识这些倾斜，并对它们进行预测。其中一个最明显的模式是下端倾斜的坡度（或陡峭程度）。所谓下端倾斜坡度就是当我们将看跌期权远离平值时隐含波动率上涨的幅度。虽然衡量这种坡度有很多方式，其中一种常见的交易员衡量倾斜的方式是考察期权变动10个Delta时隐含波动率上升多少。我通常会用40 Delta期权的隐含波动率减去20 Delta期权的隐含波动率，再将结果除以2。这将给我一个大概的倾斜坡度的概念。 在正常的市场变动情况下，倾斜的坡度通常会随一些类型的事件而有所变动。例如，当一个正常的、上涨的、vix为14至19左右的环境发生时，看跌期权的倾斜坡度通常相对平缓。但如果某支股票或整个市场开始下跌，投资者通常会买更多的看跌期权来保护其多头股票头寸。这种需求的增加将使坡度变得陡峭。当然总体隐含波动率也会有所升高，但虚值看跌期权（根据看涨看跌平价，实值看涨期权）将上升得更快，由于对“保险看跌期权”需求的增加。如果市场持续快速下跌，总体隐含波动率达到历史最高水平，这一模式通常会自行反转，看跌倾斜将开始逐渐有些平缓。为什么会这样呢？当倾斜很陡峭时，购买虚值看跌期权将比平值看跌期权要支付高得多的隐含波动率。但交易员对隐含波动率的支付有一个极值上限。为了说明这一点，让我们回到飓风保险的例子。假如你在Ft. Myers海滩有一幢房子，如果在飓风中遭受了损失，完全更换房屋需要$750,000，那你会愿意支付多少给飓风保险呢？你肯定不愿意付超过$750,000，即使飓风已经出现在地平线了。而且你的房子在飓风过境后还未必遭受到完全的损失，说不定飓风只是从海岸一扫而过，你远远用不上$750,000来维修房屋。同样的道理，你愿意支付100%的波动率来保护一个股票头寸吗？要记得对于对数正态分布来说，100%的隐含波动率将带给你从现在至一年以后价值跌到零的保护。你在这个时点上支付的是房屋的“重置价值”。因此，随着隐含波动率达到极高时，下端看跌期权中获得的额外隐含波动率将开始减少，随之看跌期权倾斜的坡度将趋于平缓。随着市场反转并开始上升（或在一两天内保持不变），总体隐含波动率将回落。但是倾斜会变陡峭，因为虚值看跌期权在它们的价格上重新获得了更多波动率。市场下跌时的痛苦在投资者心中仍历历在目，因此倾斜要过几个月才能回到之前的水平。 有意思的是，当股票或股指的隐含波动率水平达到异常低时，看跌期权坡度也会变得陡峭。比如，2014年7月3日，VIX收盘值为10.32，对SPX来说是特别低的水平，也是52周内的最低水平。与此同时，收盘时的倾斜水平也达到了过去52周中第四陡峭的水平。这是因为隐含波动率太低了，看跌期权作为保险的价格非常便宜。回到我们飓风的例子：如果现在是一月份，虽然飓风发生的可能性很小，但是保险公司提供$50的飓风保险，你会一次买很多年的保险，为了锁定这个比平时便宜几倍的价格。
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