Black-Scholes模型可以说是最有名的期权定价模型了，然而此模型过分理想化的假设导致它在实际应用中有不少问题。例如，Black-Scholes模型假设基本波动率（underlying volatility）是恒定的，然而现实中的波动率曲面（volatility surface）常常呈现出波动率倾斜（volatility skew），即成交价（strike price）越低的期权的隐含波动率（implied volatility）越高，或着波动率微笑（volatility smile），即成交价较低或较高的期权比成交价处在中间范围的期权的隐含波动率更高。
局部波动率模型（LV）和随机波动率模型（SV）对Black-Scholes模型进行了改进，它们不再假设基本波动率是恒定的，且通常在实际中被用于奇异衍生品（exotic derivatives）定价。由于其以衍生品和流动性差（nonliquid）的衍生品通常没有市场价（market price），所以需要模型来进行定价和Greeks的计算。
1 局部波动率模型
当我们用现金账户（cash account）作为计价物（numeraire）时，几何布朗运动（geometric brownian motion）模型告诉我们股价满足
dS_t=(r-q)S_tdt+\sigma S_tdt\\
这里 r 是无风险利率（risk-free interest rate）， q 是股息率（dividend yield）。由于波动率曲面从来不是平的，这个模型没有办法对应实际情况。对于Black-Scholes模型的最简单的改进就是局部波动率模型，它假设股价的风险中性动态（risk-neutral dynamics）满足
dS_t=(r-q)S_tdt+\sigma(t,S_t)S_tdt\\
这里瞬时波动率（instantaneous volatility）是关于时间和股价的函数。局部波动率模型的最重要的结论是Dupire公式，它将瞬时波动率和隐含波动率曲面联系起来。
1.1 Dupire公式
定理（Dupire公式）令 C=C(K,T) 为一个看涨期权（call option）的价格，它是一个关于成交价 K 和到期时间（time-to-maturity）的函数. 那么局部波动率函数满足
\sigma^2(T,K)=\frac{\frac{\partial C}{\partial T}+(r-q)K\frac{\partial C}{\partial K}+qC}{\frac{K^2}{2}\frac{\partial^2C}{\partial K^2}}\\
证明 令 p(s,t) 为在时间 t 且股价为 S_t=s 时的股价PDF（概率分布函数）. 它满足柯尔莫哥洛夫前向方程（Kolmogorov forward equation）
-p_t-(r-q)(sp)_s+\frac{1}{2}(\sigma(t,s)^2s^2p)_{ss}=0,\ t>0\\
初始条件（initial condition）是 p(s,0)=\delta_{S_0}(s) . 我们可以将看涨期权的价格写为
C(K,T)=e^{-rT}\mathbb{E}_0[(S_T-K)_+]=e^{-rT}\int_K^{+\infty}(s-K)p(s,T)\ ds\\
将 C(K,T) 对 K 求导，我们得到 C_{K}(K,T)=e^{-rT}\int_K^{+\infty}-p(s,T)\ ds . 再次对 K 求导，我们得到 C_{KK}(K,T)=e^{-rT}p(K,T) . 在这里，我们用到莱布尼茨积分法则（Leibniz integral rule）. 将 C(K,T) 对 T 求导，我们得到 C_T(K,T)=-rC(K,T)+e^{-rT}\int_K^{+\infty}(s-K)p_T(s,T)\ ds . 根据前向方程， C_T=-rC+e^{-rT}\int_K^{+\infty}(s-K)(r-q)(sp)_s\ ds+\frac{1}{2}e^{-rT}\int_K^{+\infty}(s-K)(\sigma^2s^2p)_{ss}\ ds . 对两个积分进行分步积分（integration by parts），我们有 C_T=-rC+e^{-rT}(r-q)\int_K^{+\infty}sp\ ds+\frac{1}{2}e^{-rT}\sigma^2K^2p . 将之前所有的结果整合，根据 e^{-rT}\int_K^{+\infty}sp\ ds=C-KC_K 和 e^{-rT}p=C_{KK} ，我们得到Dupire公式
C_T=-rC+(r-q)(C-KC_K)+\frac{1}{2}C_{KK}\sigma^2K^2\\ =-qC-(r-q)KC_K+\frac{1}{2}C_{KK}\sigma^2K^2\\
给定波动率曲面，我们可以将看涨期权价格看作关于 K 和 T 的函数，以得到看涨期权价格曲面。根据Dupire公式，我们可以通过计算看涨期权价格的偏导（partial derivatives）得到局部波动率。因此，计算局部波动率是很困难的，而我们需要一个足够平滑的Black-Scholes隐含波动率，才能用Dupire公式计算局部波动率。局部波动率模型有一些缺陷，比如，由此模型得到的倾斜动态不合理，它会低估波动率的波动率，而且由它得到的Greeks和实际观察不符。然而，在实际应用中，局部波动率模型还是被广泛用于对障碍期权（barrier option）定价。
1.2 Gyongy定理
Gyongy定理将局部波动率模型和其他可以生成隐含波动率曲面的扩散（diffusion）模型联系起来。考虑一个任意的 n -维伊藤过程
dX_t=\alpha(t,\omega)dt+\beta(t,\omega)dW_t\\
这里 \alpha(t,\omega)dt 和 \beta(t,\omega) 分别是 n\times 1 和 n\times m 适应过程（adapted process），且 \omega 是 m -维布朗运动 W_t 的样本路径。Gyongy定理说，存在一个马尔可夫过程（Markov process） Y_t ，满足
dY_t=a(t,Y_t)dt+b(t,Y_t)dW_t\\
使得 X_t 和 Y_t 有同样的边际分布（marginal distribution），即对于相同的 t ， X_t 和 Y_t 分布相同。另外， Y_t 可以通过以下方式构造：
a(t,y)=\mathbb{E}_0[\alpha(t,\omega)|X_t=y]\\ b(t,y)b(t,y)^\top=\mathbb{E}_0[\beta(t,\omega)\beta(t,\omega)^\top|X_t=y]\\
在金融领域，我们可以将 X_t 视作某证券（security）的真实风险中性动态。由于 X_t 和 Y_t 有同样的边际分布，我们可以用 Y_t 的动态来计算欧式期权（European option）的价格，也可以用 Y_t 得到正确的隐含波动率曲面。另外，Gyongy定理从某种意义上表明，局部波动率模型是可以生成正确波动率曲面的最简单的模型。
1.3 CEV模型
CEV（恒定方差弹性）模型是一个著名的参数局部波动率模型。此模型的风险中性动态是
dS_t=(r-q)S_tdt+\sigma S_t^\beta dW_t\\
其中额外的模型参数是 \sigma 和 \beta\in[0,1] 。若 \beta=1 ，CEV模型就是几何布朗运动模型。由于通过CEV模型得到的期权价格可以便捷地分析表达，所以此模型很受欢迎。若将CEV模型写作
\frac{dS_t}{S_t}=(r-q)dt+\sigma S_t^{\beta-1}dW_t\\
我们可以看到，当 \beta<1 时，瞬时波动率和资产价格是负相关的。当 \beta<\frac{1}{2} 时，CEV过程触到 0 的概率是正的。
1.4 局部波动率模型的实际表现
用Dupire公式和市场隐含波动率面校准（calibrate）的局部波动率模型将捕捉所观察到的倾斜。一个更有趣的问题是，局部波动率的动态是否可以精确表示真实的动态。不考虑扩散模型无法捕捉跳跃的问题，答案依然是否定的。从某种意义上讲，Gyongy定理说出了原因，局部波动率模型只是一个可能更精确的扩散模型的投影。这种投影性质还表明，局部波动率模型低估波动率的波动率。
![]()
局部波动率模型的隐含波动率曲面
此外，实践表明，局部波动率模型往往对于结构化产品定价过低。这与局部波动率模型生成的远期偏斜太平这一现象有关。尽管如此，局部波动率模型在实际应用中经常用于障碍期权定价。对于从局部波动率模型得到的Delta的准确性，争议一直存在。事实上，局部波动率模型的使用者通常使用Black-Scholes的Delta进行对冲。
2 随机波动率模型
最重要的随机波动率模型是Heston模型。Heston模型是一个双因子模型，它规定了股价和瞬时波动率的动态：
dS_t=(r-q)S_tdt+\sqrt{\sigma_t}S_tdW_t^S\\ d\sigma_t=\kappa(\theta-\sigma_t)dt+\gamma\sqrt{\sigma_t}dW_t^V\\
这里 W_t^S 和 W_t^V 是标准 Q -布朗运动，且它们的相关性 \rho 是恒定的。一般情况下， \rho 是负的。Heston模型中的波动率过程被广泛应用于利率模型，并被称作CIR模型。此过程保持非负的概率是 1 。
2.1 Heston模型的不完全性
局部波动率模型是完全的，即它可以对所有可交易的资产进行定价，而Heston模型是不完全的，因为Heston模型中有 2 个风险来源，而只有 1 个风险资产。在以现金账户为计价物的EMM（等价鞅测度）下，股价动态的漂移项（drift）一定是 r-q ，但是我们可以通过吉尔萨诺夫定理（Girsanov&#39;s theorem）用无数多种方式变换波动率动态的漂移项，而不改变股价动态的漂移项。为了证明这一点，我们假设 S_t 和 \sigma_t 的 P -动态是
dS_t=\mu_tS_tdt+\sqrt{\sigma_t}S_tdW_t^1\\ d\sigma_t=\nu_tdt+\gamma\sqrt{\sigma_t}(\rho dW_t^1+\sqrt{1-\rho^2}W_t^2)\\
这里 \mu_t 和 \nu_t 是 \mathcal{F}_t -适应过程，且 W_t=(W_t^1,W_t^2) 是一个 2 -维标准 P -布朗运动。定义 L_t=\exp(-\int_0^t\eta_s^\top dW_s-\frac{1}{2}\int_0^t\eta_s^\top\eta_sdW_s) ，其中 \eta_t=(\eta_t^1,\eta_t^2) 是一个 2 -维适应过程。那么，根据吉尔萨诺夫定理， \tilde{W}_t=W_t+\int_0^t\eta_sds 是一个 2 -维标准 Q^\eta -布朗运动，其中 \frac{dQ^\eta}{dP}=L_T 。特别地， S_t 和 \sigma_t 的 Q^\eta -动态是
dS_t=(\mu_t-\sigma_t\eta_t^1)S_tdt+\sqrt{\sigma_t}S_td\tilde{W}_t^1\\ d\sigma_t=[\nu_t-\gamma\sqrt{\sigma_t}(\rho\eta_t^1+\sqrt{1-\rho^2}\eta_t^2)]dt+\gamma\sqrt{\sigma_t}(\rho d\tilde{W}_t^1+\sqrt{1-\rho^2}\tilde{W}_t^2)\\
为了保证 Q^\eta 是EMM，我们只需要 \mu_t-\sigma_t\eta_t^1=r-q ，而 \eta_t^2 可以有很多选择。这样，存在无限多个EMM，所以Heston模型是不完全的。对于Heston模型，我们用 \nu_t-\gamma\sqrt{\sigma_t}(\rho\eta_t^1+\sqrt{1-\rho^2}\eta_t^2)=\kappa(\theta-\sigma_t) 来选择 \eta^2_t 。对于其他的自由参数，我们需要用欧式期权的市场价校准模型，以确定这些参数的值。这是应对不完全模型的一种常见方法。
2.2 偏微分方程定价
由于Heston模型是不完全的，我们无法用复制（replication）方法为期权定价，而是需要用EMM为证券定价。由于 e^{-rT}\mathbb{E}_t^Q[e^{-r(T-t)}\mathrm{OptionPayoff}]=e^{-rT}C(t,S_t,\sigma_t) 是一个 Q -鞅，我们可以得到用来定价 C(t,S_t,\sigma_t) 的PDE：
\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma S^2\frac{\partial^2C}{\partial S^2}+\rho\sigma\gamma S\frac{\partial^2C}{\partial S\partial\sigma}+\frac{1}{2}\sigma\gamma^2\frac{\partial^2C}{\partial\sigma^2}+(r-q)S\frac{\partial C}{\partial S}+\kappa(\theta-\sigma)\frac{\partial C}{\partial\sigma}=rC\\
衍生品的价格可以通过解带有对应边界条件（boundary condition）的此PDE得到，也可以通过对 e^{-rT}\mathbb{E}_t^Q[e^{-r(T-t)}\mathrm{OptionPayoff}] 的蒙特卡洛（Monte Carlo）估计得到。
在Heston模型中，通过解PDE得到的欧式看涨期权的价格为
C(t,S_t,\sigma_t)=S_tP_1(t,S_t,\sigma_t)-Ke^{-r(T-t)}P_2(t,S_t,\sigma_t)\\
这里 P_1 和 P_2 也满足上述PDE。 P_1 和 P_2 没有解析（analytic）解，但是Heston通过猜测它们的函数形式，并将PDE转化为两个有解析解的ODE，计算它们的傅立叶变换（Fourier transform）。傅立叶变换可以通过数值方法（numerical method）进行反转，进而得到 P_1 和 P_2 以及欧式看涨期权的价格。Heston将 P_1 和 P_2 视作期权于价内（in the money）到期的、对应不同EMM的风险中性概率。
2.3 模拟Heston模型
如果想要模拟（simulate）一个多维SDE
dX_t=\mu(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dW_t\\
其中 W_t 是一个 n -维布朗运动，我们可以通过欧拉方法（Euler&#39;s method）来进行离散化（discretization）
\hat{X}_{kh}=\hat{X}_{(k-1)h}+\mu((k-1)h,\hat{X}_{(k-1)h})h+\sigma((k-1)h,\hat{X}_{(k-1)h})\sqrt{h}Z_k\\
这里 Z_k 是 N(0,I_n) 随机变量。我们可以模拟 \{\hat{X}_{h},\cdots,\hat{X}_{mh}\} ，其中 m 是时间步骤（time step）的数量， h 是常数，且 mh=T 。
然而，如果我们想要模拟Heston模型的动态，我们要注意，应用于波动率动态的欧拉方法常常是不收敛的。因此，对于Heston模型的模拟，最好用其他的离散化方法。我们可以将标准期权（vanilla option）和奇异期权放在一起用蒙特卡洛方法来定价。如果标准期权的估计价格与解析解相差过大，我们就能发现，离散化方法没有收敛。
2.4 Heston模型的实际表现
一个有趣的问题是，Heston模型是否准确地反映了股价的动态。在实践中，这个问题往往被简化为一个更简单的问题，即Heston模型对波动率倾斜的捕捉有多好。对于这个任务的考量，我们运用以下过程：在Heston模型被校准后，可以使用数值方法，如蒙特卡洛方法、偏微分方程或变换方法（transform method），计算欧式期权价格。由此产生的期权价格可用于确定相应的Black-Scholes隐含波动率。然后可以用这些波动率构造模型的隐含波动率曲面，并与市场的隐含波动率曲面进行比较。
![]()
Heston模型的隐含波动率曲面
对于Heston模型的隐含波动率曲面，最显著的特征可能是长期限期权的倾斜的持续性。事实上，赫斯顿模型通常对于长期倾斜的捕捉很好，但难以捕捉短期倾斜，尤其是当短期倾斜非常陡峭时。为了解决短期倾斜过于陡峭时产生的问题，我们需要跳跃扩散（jump-diffusion）模型，因为对于连续的扩散模型，没有足够时间使得股价相对于现价扩散得足够远。
2.5 其他随机波动率模型
其他的常见随机波动率模型包括SABR模型，它规定了远期合约价格 F_t 和波动率 \sigma_t 的动态：
dF_t=\sigma_tF_t^\beta dW_t^F\\ d\sigma_t=\alpha\sigma_tdW_t^V
这里 W_t^F 和 W_t^V 是标准 Q -布朗运动，它们的相关性 \rho 是恒定的，且常数参数 \alpha 和 \beta 满足 \alpha\ge0,\ 0\le\beta\le1 。SABR模型的主要特性是对波动率微笑的捕捉。
GARCH(1,1)模型将Heston模型中的波动率过程扩散项中的 \sqrt{\sigma_t} 换成 \sigma_t
d\sigma_t=\kappa(\theta-\sigma_t)dt+\gamma\sigma_tdW_t^V\\
GARCH模型还有很多变式，比如TGARCH和IGARCH。然而，严格来说，GARCH模型中的条件波动率不是随机的，因为对于任意的 t ，给定前值，波动率是确定的。
3/2模型和Heston模型类似，其中的波动率动态是
d\sigma_t=\sigma_t(\theta-\kappa\sigma_t)dt+\gamma\sigma_t^{3/2}dW_t^V\\
参考文献
[1] Kerry Back. A Course in Derivative Securities: Introduction to Theory and Computation.
[2] Tomas Bjork. Arbitrage Theory in Continuous Time.
[3] Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II-Continuous-Time Models. Springer Finance. Springer, New York, 2004. |
|
转播
