如何理解资产定价第一基本定理？

一个离散的市场，在一个离散概率空间时是无套利的当且仅当至少存在一个风险中性概率测度。

Ze Yang · 2018-10-2 00:35:46

谢邀，从左往右推是比较难的部分，来说说Hilbert space视角下的理解。
资产payoff是概率空间
上的随机变量,
。考虑如下的payoff子空间：

容易验证，
是一个具有内积
的Hilbert space。
价格是一个从payoff空间映射到实数域的泛函，
。“无套利”这个条件，是在描述
的性质。具体而言，它说了两件事情：

资产线性组合一下成为一个新的资产，价格也同样的线性组合。
资产payoff在所有状态下都是非负的，某些状态下是正的，那么价格必须是正的

把1翻译一下：
,
。说明
是一个线性泛函。Riesz Representation Theorem告诉我们，存在一个
，使得线性泛函
可以被表示成内积：
。
再把2翻译一下：对于任意可测的状态集合
, 构造一些“indicator payoff”：

那么2保证：
. 这实际上保证了
是几乎处处为正的：假如
在某个可测且测度不为零的集合上非正，那么对应的那个“indicator payoff”的价格也就不是正的了，与2矛盾。
我们整理一下结论：存在一个
，使得

我们知道，
，所以
这个随机变量在
下几乎处处为正，而且
-勒贝格积分为1；因此可以看作一个“概率密度”函数，允许我们换测度到
：

就是所谓的“风险中性”测度。假设这个关系已知，也可以从右推左。别的答主写了不少，这里就不说了。以上思路应该和严格证明中的差不多了，但细节不严格。

回到“如何理解”这个问题本身：

所谓的“风险中性测度”只不过是定价泛函的一个内积表示。它本质上是一个用“下一期得到无风险1块钱”的价格scale过后的随机折现因子。我们可以假装这个量是一个概率测度，因为它几乎处处为正，而且sum to 1。
Law of one price保证了定价泛函是线性的，希尔伯特空间的几何保证了定价泛函可以写成和
中一个随机变量的内积，absence of arbitrage保证了随机折现因子是正的所以我们可以假装它是概率测度。
常常会有人用某些的玄学的金融intuition解释为什么“风险中性”，哪里是“风险中性世界”，什么人是“风险中性investor”...云云。这些往往反而会更加使人困惑。这里引用一下Steven Shreve给我们讲过的一段话。背景是某一天有同学请他解释为什么定价测度是“风险中性”：

"... I would not explain that. I think this is one of the worst things that has ever happened: the name 'risk neutral' got attached to these measures, because then people try to explain them, and there's an awful lot of nonsense that emerges from those explanations. In particular, one year I had a student explain to me why the risk neutral measure in dollars is the same as the risk neutral measure in pounds. He told me that because if a risk neutral investor flies across the Atlantic, he is still risk neutral - just total nonsense. We have this concept of risk neutral mean something, but it doesn't mean anything. It's a way of making asset prices be martingales, period. The discussion of risk neutral world, which doesn't exist, of risk neutral investors, which hardly exist, are just confusing. So I don't try to explain that ... The term that was adopted a the beginning was 'equivalent martingale measure'. Let's think about it in this way, and let's don't talk about risk neutral investors. I think it will be a whole lot less confusing."

刘含章 · 2018-10-2 00:35:47

简单说一下：应该是说存在至少一个Equivalent Martingale Measure (EMM等价鞅测度) (暂且标记为Q) 的时候，可以认为市场是无套利的，反之亦然。

一个测度是EMM要求两个条件，一是这个测度Q和真实的概率P是等价的，二是任何资产价格折现过程都是Q测度下的鞅

那么依据这两条性质，我们就可以证明第一定理了，反证法，如果可以套利，那么假设0时刻资产价格为0。T时刻下，资产价格大于等于0的概率为1。因为测度Q和真实概率等价，那么T时刻下资产价格大于等于零的Q测度也是1，这样一来，这个资产价格折现的过程在Q测度下就不能是鞅了，资产价格折现到时刻0时在Q测度下的期望是大于零的。所以，必然是无套利的。反过来无套利可以得到EMM的证明就比较“Trivial”了，偷懒不写了。

第一定理是连接风险中性定价和无套利定价的一个桥梁，虽然不能直接拿来定价用，但这是风险中性定价能成立的最基本条件，必须得有。

如何理解资产定价第一基本定理？

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