谈了许多观念，很多人可能还是不知道『期望值』该怎么算，纷纷要求希望能用台指期货做个例子。
为了让大家更容易理解一点，我们就来看看，期望值是怎么计算出来的。
期望值的定义是：期望值 = Σ（结果 × 机率）
因此，如果想要计算出，『选择权策略』的期望值，就需要两个东西。
1. 选择权策略的『结果』函数
2. 相对应结果的『机率』函数
选择权策略『结果』函数，其实很简单。以选择权到了结算日那天，所得到的结果来说，
买进call就是长这样 _/ ,
买进put 就是长这样 \_ ，
卖方的话，正好反过来。
总而言之，也就是大家常常看到的，选择权策略的损益图啦。
这个损益图形上，横轴是最后结算时，标的物所有的可能结果。纵轴则是每个标的物结果，对应的选择权损益结果。
简单地说，也就是选择权到期时，『所有』可能的结果。
任何一个选择权交易，只要确定了下面几个参数（建立部位时就确定了），
1. 履约价格（K）
2. 距离到期时间（t）
3. 交易的权利金（P）
那么这个选择权到期之后，所有可能的结果，就可以完全被结果函数表示出来了。
至于结果的『机率』函数，用到的是常态机率分布函数。常态机率分布函数，有两个参数，一个是分布的中心值（也就是需要预测的标的物未来价格），另一个是分布的标准差（也就是标的物价格的波动率）。
以台指举例来说，由于台指『期货』表示的是，『市场』对于到期日那天，指数最后会落在那里的『预期』。
因此，我们可以姑且将台指期货（S），拿来当作未来预测分布的中心值。
再者，由于每个选择权都有隐含波动率，而它同样代表了『市场』对于未来市场波动率的『预期』。所以我们在这里，使用了隐含波动率，来作为我们对未来波动率的预测。
其实该使用什么值，来作为预测中心的分布值，或者是波动率该取用那个值，都是见仁见智，纯粹属于个人喜好的问题。甚至要不要使用常态分布函数，来作为机率的表示方式，这也是可以因人而异的。
因此，我们在这里，必须再次说明一下，为了计算期望值，我们做了以下的假设：
1. 以常态机率分布函数，用来表示标的物未来价格可能的机率分布。
2. 以相应标的物『期货』的价格，作为标的物未来价格的机率分布的中心值。
3. 以价平选择权的隐含波动率，作为标的物未来价格机率分布的波动率（σ，也就是标准差）。
有了预测的（假设的）『中心值』（S）与『波动率』（σ）这两个参数，就可以得到机率函数了。
下面我们利用『函数』的形式，将选择权的『结果』与『机率』，分别表示出来。
1. 策略『结果』函数
x <= K 时， x > K 时， 损益图形示意图
==================================================
买进call R = -P， x-(K P)， _/
卖出call R = P， -x (K P)， ``\
买进put R = -x (K-P)， -P， \_
卖出put R = x-(K-P)， P， /``
其中，
K: 履约价格
P: 权利金
x: 变数，横座标轴，表示选择权标的物所有可能的最后（结算）价格
R: 结果，纵座标轴，表示选择权标的物所有可能的最后（结算）价格，所对应的损益结果
2. 结果『机率』函数
先将变数 x 转换为 z，
z = ln(x/S) / [σ*sqrt(t)]
就可以求出常态机率分布函数：
g(z) = 1/sqrt(2Pi)*exp(-z*z/2) = NORMDIST(z) = N'(z)
（注意：这与后面提到的 N() ，存在着微分的关係）
而想要求出某个区间 z1 ~ z2 之间的机率时，可以用到常态累积分布函数：
N(z) = ∫g(z)dz = NORMSDIST(z)（注意：这与前面提到的 N'() ，存在着积分的关係）
而某个区间 z1 ~ z2 之间的机率，则可以表示为：
N(z2) - N(z1)
其中，
S: 标的物目前价格（分布的中心价格）
σ: 波动率（分布的标准差）
t: 距离到期的时间（以年为单位， = 天数/365 ）
x: 变数，横座标轴，表示选择权标的物所有可能的最后（结算）价格
z: 为了计算方便，将变数 x 转换为变数 z, 可以使 g(z) 的公式用起来比较简洁。这个转换称为 z 转换。
有了上面的两个函数，我们就可以将『所有』的结果与机率，一一算出来，个别的结果与机率相乘之后，再全部加起来，就可以得到期望值。可是，这么做的话，虽然是土法炼钢，一定可以得到结果，但是未免也太过愚公移山，耗时费力了。
因此，我们可以经过数学的推导，（参考原书第六章前段说明），就能直接得到『期望值』函数的公式：
E(R) = ∫R(z)*g(z) dz
买进call = -P[N(zK)] {S*exp(c*c/2)*[1-N(zK-c)]}-(K P)[1-N(zK)]
卖出call = P[N(zK)] - {S*exp(c*c/2)*[1-N(zK-c)]} (K P)[1-N(zK)]
买进put = -[S*exp(c*c/2)*N(zK-c)] (K-P)[N(zK)] - P[1-N(zK)]
卖出put = [S*exp(c*c/2)*N(zK-c)]-(K-P)[N(zK)] P[1-N(zK)]
上面的公式，计算的范围是从负无限大到正无限大。在书中，计算的范围则是从 -4 标准差计算到 4 标准差的范围，所以公式修改如下：
E(R) = ∫R(z)*g(z) dz
买进call = -P[N(zK)-N(-4)]
{S*exp(c*c/2)*[N(4-c)-N(zK-c)]}-(K P)[N(4)-N(zK)]
卖出call = P[N(zK)-N(-4)]
- {S*exp(c*c/2)*[N(4-c)-N(zK-c)]} (K P)[N(4)-N(zK)]
买进put = -{S*exp(c*c/2)*[N(zK-c)-N(-4-c)]} (K-P)[N(zK)-N(-4)]
- P[N(4)-N(zK)]
卖出put = {S*exp(c*c/2)*[N(zK-c)-N(-4-c)]}-(K-P)[N(zK)-N(-4)]
P[N(4)-N(zK)]
其中，
R(z): 由于积分的需要，将 R 中的 x, 进行 z 转换，使得本来用 x 来表示的 R(x)，转换成用 z 来表示的函数 R(z)
zK = ln(K/S) / [σ*sqrt(t)] ，（也就是将 K 代入 x 的位置，所得到的 z 值）
c = σ*sqrt(t)
由上面的公式，便可以计算出选择权的『期望值』，也就是 E(R) 的值了。
举例来说，
2008 年 6 月 4 日，台指期货与选择权价格的资料如下：
Future（期货）
名称 时间 成交价 买进 卖出 涨跌 总量
台指期0613:44:59 8592 8589 8594 △54 44302
Option（选择权）：近月（200806），只取上下 5 档。
Call（买权）
履约价 时间 成交价 买价 卖价 涨跌 总量
8200 13:44 439 421 440 △57 193
8300 13:44 347 346 349 △40 706
8400 13:44 272 270 277 △37 1996
8500 13:44 203 203 207 △30 5921
8600 13:44 150 147 150 △27 15892
8700 13:45 102 102 103 △17 20737
8800 13:44 67 67 68 △14 34073
8900 13:44 41.5 41.5 42 △11 26729
9000 13:44 25 25 25.5 △4.5 18397
9100 13:44 14.5 14 14.5 △1.5 9286
Put（卖权）
履约价 时间 成交价 买价 卖价 涨跌 总量
8200 13:44 37.5 37.5 38 ▽9.5 10579
8300 13:44 56 54 56 ▽13 18632
8400 13:44 80 79 81 ▽19 18037
8500 13:44 114 113 115 ▽23 16403
8600 13:44 155 155 157 ▽33 9294
8700 13:44 209 205 211 ▽39 4480
8800 13:44 271 270 271 ▽48 2888
8900 13:44 350 350 354 ▽50 1130
9000 13:44 435 430 437 ▽48 578
9100 13:44 525 520 535 ▽50 574
好。
现在我们把买进 8600 call 当作例子，
K = 8600
因为是买进call，所以取卖出报价，
P=150
最后交易日是 6/18 ，今天（6/4）不算的话，还有 15 天才到期，
t = 15/365 = 0.0411。
以当时期货成交值，作为机率分布的中心价格，（注意：这是只是一个假设，见仁见智，因人而异。）
S = 8592。
根据成交价格，可以计算出隐含波动率。我们取 call 和 put 的隐含波动率，加以平均，用来表示预测的波动率，（注意：这是只是一个假设，见仁见智，因人而异。）
8600 Call 的隐含波动率为 0.217，
8600 Put 的隐含波动率为 0.222，所以
σ = (0.217 0.222) / 2 = 0.2195
有了上面这些数值（K,P,S,t,σ）之后，就可以计算出『期望值』：
买进call(P=150), E(R) = 2.87
同样的，如果按照不同的情况，取不同的 P 值，
卖出call，取买进报价 P=147，
买进put ，取卖出报价 P=157，
卖出put ，取买进报价 P=155，
也可以分别计算出对应的期望值，
卖出call(P=147), E(R) = -5.87
买进put (P=157), E(R) = -4.63
卖出put (P=155), E(R) = 2.64
上面的所有选择权报价，也同样全都可以计算出相应的期望值，各位可以拿来练习看看。 ^_^
以上，就是期望值计算的方法与范例，仅供各位作为参考。
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